高二月考二项式题解法小议

Yeah!!
今天上午进行了高二本学期的第一次数学月考，试卷是高三年级的廖老师出的。虽然学生都说考得烂，很多同事都有些埋怨——试卷出得缺乏区分度。然而在我看来，仍然有两、三个题目是相当出彩的，非常的“勾魂”，要知道廖老师的试卷总是给人很大的回味余地。其中，大家讨论比较多的当属选择题第7题：

若(x^2+1)(x-2)^9=a_0+a_1(x-1)^2+\dots+a_{11}(x-1)^{11}，
则求(a_1+3a_3+\dots+11a_{11})^2-(2a_2+4a_4+\dots+10a_{10})^2=

我甫一拿到问题，就在寻思究竟哪个函数f(x)的n次方可以化成ng(x)的结构，马上便联想到了导函数。

解法一：设M=a_1+3a_3+\dots+11a_{11},N=2a_2+4a_4+\dots+10a_{10}
又M^2-N^2=(M+N)(M-N)
则对原方程左右两边同时求导，得：
2x(x-2)^9+9(x^2+1)(x-2)^8=
a_1+2a_2(x-1)+3a_3(x-1)^2+\dots+11a_{11}(x-1)^{10}
当x=2时，0=a_1+2a_2+\dots+11a_{11}
即M+N=0，\therefore原式=0

众多数学老师的意见也都是用求导的方法来做，具体的过程并不复杂，但是没有足够应试经验的高二学生的确不易想到。因此我觉得二项式的问题应该不需要弄得这么复杂，于是换了角度考虑了一会，得到了另外一种解法。

解法二：设x=y+2，原方程转化为
[(y+2)^2+1]y^9=a_0+a_1(y+1)+a_2(y+1)^2+\dots+a_{11}(y+1)^{11}
其中等式左边没有y^1项，即该项系数为0
等式右边y^1项的系数为a_1+2a_2+\dots+11a_{11}
\therefore原式=0。

当然，上午监考中还是很无聊，做了两个解法后，为了消磨时间我也用暴力破解的办法求了下，以期探索究竟a_i的数值规律是什么。于是也得到了一组关于组合数系数的轮换对称结构，加加减减刚好完全抵消掉。限于这里的页面范围，就不再啰嗦。

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This entry was posted on Wednesday, March 31st, 2010 at 2:57 pm and is filed under Mathematics. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can leave a response, or trackback from your own site.

  1. MathChief says:
    April 10, 2010 at 8:12 am

    lol, the high school kids are doing much harder problems than I was doing back in high school
    oh wait, they learn Calculus now? just differentiation? or integration? or some vector calculus?

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