» 高二月考二项式题解法小议剔思集

今天上午进行了高二本学期的第一次数学月考，试卷是高三年级的廖老师出的。虽然学生都说考得烂，很多同事都有些埋怨——试卷出得缺乏区分度。然而在我看来，仍然有两、三个题目是相当出彩的，非常的“勾魂”，要知道廖老师的试卷总是给人很大的回味余地。其中，大家讨论比较多的当属选择题第7题：

若 $(x^2+1)(x-2)^9=a_0+a_1(x-1)^2+\dots+a_{11}(x-1)^{11}$ ，
则求 $(a_1+3a_3+\dots+11a_{11})^2-(2a_2+4a_4+\dots+10a_{10})^2=$

我甫一拿到问题，就在寻思究竟哪个函数 $f(x)$ 的 $n$ 次方可以化成 $ng(x)$ 的结构，马上便联想到了导函数。

解法一：设 $M=a_1+3a_3+\dots+11a_{11},N=2a_2+4a_4+\dots+10a_{10}$
又 $M^2-N^2=(M+N)(M-N)$
则对原方程左右两边同时求导，得：
$2x(x-2)^9+9(x^2+1)(x-2)^8=$
$a_1+2a_2(x-1)+3a_3(x-1)^2+\dots+11a_{11}(x-1)^{10}$
当 $x=2$ 时， $0=a_1+2a_2+\dots+11a_{11}$
即 $M+N=0$ ， $\therefore$ 原式 $=0$

众多数学老师的意见也都是用求导的方法来做，具体的过程并不复杂，但是没有足够应试经验的高二学生的确不易想到。因此我觉得二项式的问题应该不需要弄得这么复杂，于是换了角度考虑了一会，得到了另外一种解法。

解法二：设 $x=y+2$ ，原方程转化为
$[(y+2)^2+1]y^9=a_0+a_1(y+1)+a_2(y+1)^2+\dots+a_{11}(y+1)^{11}$
其中等式左边没有 $y^1$ 项，即该项系数为 $0$
等式右边 $y^1$ 项的系数为 $a_1+2a_2+\dots+11a_{11}$
$\therefore$ 原式 $=0$ 。