» 夹逼原理的典型例题剔思集

这次青三班月考的试卷我放低了难度，学生考得就明显比上次要好。昨天成绩出来，拿到分数后很多人都蛮高兴的，尤其几个平时数学很糟糕的同学，这次考了八、九十分，不光他们高兴，跟着我也很愉快。

昨晚上把试卷翻来覆去的研究，留意到第19题。整题的解答过程中贯穿了夹逼的思想，应该要记录下来，便于以后温故知新。

已知 $a,b,m,n\in N^{*}$ ， $\{a_n\}$ 是首项为 $a$ ，公差为 $b$ 的等差数列； $\{b_n\}$ 是首项为 $b$ ，公比为 $a$ 的等比数列，且满足 $a_1<b_1<a_2<b_2<a_3$ ，
（1）求 $a$ 的值；
（2）数列 $\{1+a_m\}$ 与数列 $\{b_n\}$ 的公共项，且公共项按原顺序排列后构成一个新数列 $\{c_n\}$ ，求 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项之和 $S_n$ ．

解：（1） $a_m=a+(m-1)b,b_n=b\cdot a^{n-1}$
由已知，可得， $a+b<ab<a+2b$
$\because b\in N^{*}$ ， $\therefore \frac{a}{b}+1<a$
$\because a<\frac{a}{b}+2$ ， $\therefore a\geqslant2$ 且 $a\leqslant2$
$\therefore a=2$

（2）设 $1+a_m=b_n$ ，即 $1+a+(m-1)b=b\cdot a^{n-1}$
$\therefore b=\frac{3}{2^{n-1}-(m-1)}$
$\because b\in N^{*}$ ， $\therefore 0<2^{n-1}-(m-1)\leqslant1$
$\therefore 2^{n-1}-(m-1)=1$ ， $\tehrefore 2^{n-1}=m$
$\therefore c_n=3\cdot2^{n-1}$
故 $S_n=3\cdot(1+2+\dots+2^{n-1})=3\cdot(2^n-1)$