长方体侧面积与体积对应成比例

一大清早黄老师给了我一个几何题做,很鬼的题目:

对任意长方体A,都存在一个与A等高的长方体B,使得B与A的侧面积之比和体积之比都等于k,求k的取值范围。

这小破题目的答案基本上一眼就可以看出来,但我不晓得怎么去讲清楚,折腾了我一节课的时间啊。

解:k=1是显然的;
[k=frac{a+b}{c+d}=frac{ab}{cd}]
[a+b=k(c+d),ab=kcd]
c、d可以看做实系数一元二次方程的两根,该方程一定有解:
[x^2-(c+d)x+cd=0,(c+d)^2 geq 4cd]
a、b也可以看成是某个方程的根:
[x^2-k(c+d)x+kcd=0]
[Delta = k^2(c+d)^2-4kcd]
只要保证:
[k^2(c+d)^2-4kcd geq 4cdk(k-1) geq 0]
就一定会存在a、b满足要求,即:
[k geq 1]

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