今天上午在青班讲圆锥曲线-椭圆，提及到椭圆的焦半径公式。下午在高二文科考场监考，百无聊赖之中，止不住回顾上午的教学，于是便想起一道与焦半径有关的高考题来。由于记不得年份，所以原题没有找出来，印象中是用椭圆的轴对称性质来求解。

我却换了一个角度思考，根据公式[tex]|PF|=ex pm a[/tex]，如果椭圆上一系列的点的横坐标成等差数列，那么过这些点的焦半径也依次成等差数列。其中在横坐标为长轴等分点的条件下，近焦半径长可以看成数列的首项，远焦半径长可以看成末项，这样就可以结合等差数列的性质构造很多有意思的椭圆问题。

例如：

曲线[tex]frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0,y geq 0)[/tex]，其中[tex]F_1[/tex]为左焦点。在其长轴内插入[tex]n[/tex]个点，将长轴[tex]n+1[/tex]等分。过这些点作[tex]x[/tex]轴垂线与曲线依次交于[tex]P_i(i=1,2,dots,n)[/tex]点。
当[tex]n=2010[/tex]时，求[tex]|F_1P_0|+|F_1P_3|+|F_1P_6|+dots+|F_1P_{2010}|[/tex]的值。