今天是北约华约自主招生考试的日子，从下午四点左右，在新浪博客宋庆老师那儿，就可以不断看到这两次考试的数学试题被放出来。

由于当时我要外出，所以很多题都是在出租车上看到，然后心算，然后用手机写的过程，不免很潦草。

现在到家了，把已经做过的题整理下，睡觉前再把之前认为简单的几道题干掉吧。

1、北约第7题 求证：\(tan3^{\circ}\)为无理数。

【思考】上学期在数学培训给学生讲过这种类型的证明，其中一种方法是要抓住“有理数的四则运算结果始终是有理数。”

【解答】用反证法：如果\(tan3^{\circ}\)是有理数，考虑到和角的正切公式是四则运算，那么会与\(tan15^{\circ}=2-\sqrt{3}\)矛盾。

2、北约第10题 已知是满足的正数，求证： 

【思考】这题一到手第一反应是不等式两边求\(\ln\)，构造函数\(f(x)=\ln(\sqrt{2}+x)\)，用琴生不等式做，然后发现这玩意儿是个凹函数。然后想构造\(f(x)=\ln(\sqrt{2}+1+lnx)\)，然后发现，它还是凹函数……郁闷了一小会儿，发觉自己想多了。

【解答】由柯西不等式可知：\((\sqrt{2}+x_i)(\sqrt{2}+\frac{1}{x_i})\geq(\sqrt{2}+1)^2\)    …………（1）

构造数组\(y_i=\frac{1}{x_i}\)，可知：\(y_1 y_2 \cdots y_n = 1\)，

假设命题不成立，则\((\sqrt{2}+x_1)\cdots(\sqrt{2}+x_n)(\sqrt{2}+y_1)\cdots(\sqrt{2}+y_n) < (\sqrt{2}+1)^{2n}\),

这与（1）式的结论矛盾。

3、华约第1题 \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\)五个正整数，任取四个之和的集合为\(\{44,45,46,47\}\)，求\(x_i\).

【解答】四数之和有五种情况，说明有个数出现了两次，五个和末位数字之和应该能被4整除，可知重复的是46，

所以这五个数应该是\(\{10,11,11,12,13\}\)。

4、华约第7题 已知n为正整数，\(x \leq n\),求证：\(n-n(1-\frac{x}{n})^n e^x \leq x^2\)

【思考】这题看似难，其实易，无非是把高考压轴题的要点浓缩到一块儿而已。

【解答】本题即证：在\(x^2 \leq n\)时，\(((1-\frac{x}{n})e^{\frac{x}{n}})^n \geq 1-\frac{x^2}{n}\)

易证不等式：\(e^x \geq x+1\),结合二项式定理可知上述结论是显而易见的。

虽然我反对学生写“显而易见”，但wordpress下面输入latex实在是太烦人了！！！！

但有一道题我觉得怪怪的——

华约第2题 乒乓球比赛，甲单局胜的概率为\(p(p>\frac{1}{2})\)，五局三胜制，甲获胜的概率为q，p为多少时，p-q取最大值？

【思考】这里的五局三胜制，究竟是要打满五局，还是谁先达到三胜即算胜利？搞不清楚这点，这题没法做啊。