2014北约、华约部分数学题解答

今天是北约华约自主招生考试的日子,从下午四点左右,在新浪博客宋庆老师那儿,就可以不断看到这两次考试的数学试题被放出来。

由于当时我要外出,所以很多题都是在出租车上看到,然后心算,然后用手机写的过程,不免很潦草。

现在到家了,把已经做过的题整理下,睡觉前再把之前认为简单的几道题干掉吧。

1、北约第7题 求证:\(tan3^{\circ}\)为无理数。

【思考】上学期在数学培训给学生讲过这种类型的证明,其中一种方法是要抓住“有理数的四则运算结果始终是有理数。”

【解答】用反证法:如果\(tan3^{\circ}\)是有理数,考虑到和角的正切公式是四则运算,那么会与\(tan15^{\circ}=2-\sqrt{3}\)矛盾。

2、北约第10题 已知x_1, x_2,\cdots ,x_n是满足x_1x_2\cdots x_n=1的正数,求证: (\sqrt{2}+x_1)(\sqrt{2}+x_2)\cdots(\sqrt{2}+x_n)\ge (\sqrt{2}+1)^n.

【思考】这题一到手第一反应是不等式两边求\(\ln\),构造函数\(f(x)=\ln(\sqrt{2}+x)\),用琴生不等式做,然后发现这玩意儿是个凹函数。然后想构造\(f(x)=\ln(\sqrt{2}+1+lnx)\),然后发现,它还是凹函数……郁闷了一小会儿,发觉自己想多了。

【解答】由柯西不等式可知:\((\sqrt{2}+x_i)(\sqrt{2}+\frac{1}{x_i})\geq(\sqrt{2}+1)^2\)    …………(1)

构造数组\(y_i=\frac{1}{x_i}\),可知:\(y_1 y_2 \cdots y_n = 1\),

假设命题不成立,则\((\sqrt{2}+x_1)\cdots(\sqrt{2}+x_n)(\sqrt{2}+y_1)\cdots(\sqrt{2}+y_n) < (\sqrt{2}+1)^{2n}\),

这与(1)式的结论矛盾。

3、华约第1题 \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\)五个正整数,任取四个之和的集合为\(\{44,45,46,47\}\),求\(x_i\).

【解答】四数之和有五种情况,说明有个数出现了两次,五个和末位数字之和应该能被4整除,可知重复的是46,

所以这五个数应该是\(\{10,11,11,12,13\}\)。

4、华约第7题 已知n为正整数,\(x \leq n\),求证:\(n-n(1-\frac{x}{n})^n e^x \leq x^2\)

【思考】这题看似难,其实易,无非是把高考压轴题的要点浓缩到一块儿而已。

【解答】本题即证:在\(x^2 \leq n\)时,\(((1-\frac{x}{n})e^{\frac{x}{n}})^n \geq 1-\frac{x^2}{n}\)

易证不等式:\(e^x \geq x+1\),结合二项式定理可知上述结论是显而易见的。

虽然我反对学生写“显而易见”,但wordpress下面输入latex实在是太烦人了!!!!

但有一道题我觉得怪怪的——

华约第2题 乒乓球比赛,甲单局胜的概率为\(p(p>\frac{1}{2})\),五局三胜制,甲获胜的概率为q,p为多少时,p-q取最大值?

【思考】这里的五局三胜制,究竟是要打满五局,还是谁先达到三胜即算胜利?搞不清楚这点,这题没法做啊。

 

2014自主招生华约联考数学试题及其解答

 

 

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