今天上午进行了高二本学期的第一次数学月考，试卷是高三年级的廖老师出的。虽然学生都说考得烂，很多同事都有些埋怨——试卷出得缺乏区分度。然而在我看来，仍然有两、三个题目是相当出彩的，非常的“勾魂”，要知道廖老师的试卷总是给人很大的回味余地。其中，大家讨论比较多的当属选择题第7题：

若[tex](x^2+1)(x-2)^9=a_0+a_1(x-1)^2+dots+a_{11}(x-1)^{11}[/tex]，
则求[tex](a_1+3a_3+dots+11a_{11})^2-(2a_2+4a_4+dots+10a_{10})^2=[/tex]

我甫一拿到问题，就在寻思究竟哪个函数[tex]f(x)[/tex]的[tex]n[/tex]次方可以化成[tex]ng(x)[/tex]的结构，马上便联想到了导函数。

解法一：设[tex]M=a_1+3a_3+dots+11a_{11},N=2a_2+4a_4+dots+10a_{10}[/tex]
又[tex]M^2-N^2=(M+N)(M-N)[/tex]
则对原方程左右两边同时求导，得：
[tex]2x(x-2)^9+9(x^2+1)(x-2)^8=[/tex]
[tex]a_1+2a_2(x-1)+3a_3(x-1)^2+dots+11a_{11}(x-1)^{10}[/tex]
当[tex]x=2[/tex]时，[tex]0=a_1+2a_2+dots+11a_{11}[/tex]
即[tex]M+N=0[/tex]，[tex]therefore[/tex]原式[tex]=0[/tex]

众多数学老师的意见也都是用求导的方法来做，具体的过程并不复杂，但是没有足够应试经验的高二学生的确不易想到。因此我觉得二项式的问题应该不需要弄得这么复杂，于是换了角度考虑了一会，得到了另外一种解法。

解法二：设[tex]x=y+2[/tex]，原方程转化为
[tex][(y+2)^2+1]y^9=a_0+a_1(y+1)+a_2(y+1)^2+dots+a_{11}(y+1)^{11}[/tex]
其中等式左边没有[tex]y^1[/tex]项，即该项系数为[tex]0[/tex]
等式右边[tex]y^1[/tex]项的系数为[tex]a_1+2a_2+dots+11a_{11}[/tex]
[tex]therefore[/tex]原式[tex]=0[/tex]。

当然，上午监考中还是很无聊，做了两个解法后，为了消磨时间我也用暴力破解的办法求了下，以期探索究竟[tex]a_i[/tex]的数值规律是什么。于是也得到了一组关于组合数系数的轮换对称结构，加加减减刚好完全抵消掉。限于这里的页面范围，就不再啰嗦。