试题来自宋庆老师4月16日的blog《2010西班牙MO-4简证》。
[
frac{a+b+3c}{3a+3b+2c}+frac{3a+b+c}{2a+3b+3c}+frac{a+2b+c}{3a+2b+3c} ge frac{15}{8},(a,b,c in R^*)]
看到题目后，我先证明了下，用的是柯西不等式，方法和宋老师的一模一样。我也的确喜欢用柯西不等式来运算。原命题等价于求证：
[
sum{[frac{a+b+3c}{3a+3b+2c}+2]} ge frac{63}{8}]
又因为：
[
sum{[frac{a+b+3c}{3a+3b+2c}+2]} =sum{[frac{7(a+b+c)}{3a+3b+2c}]}=frac{1}{7}sum{[frac{8(a+b+c)}{3a+3b+2c}]}]
即可根据柯西不等式，有结论成立：
[
sum{[3a+3b+2c]}sum{[frac{1}{3a+3b+2c}]} ge 9]
随后，我觉得证明过程还是蛮可爱的，也就想推荐给青三班的学生。于是把它作为一道作业题，规定班上数学成绩较好的学生来完成。第四节晚自习我翻了几个人的作业，都不是用柯西不等式来证明。有些证明可以说更加可爱些。

卢铝柱、官相瑜、周一鸣同学用均值不等式来证明，其中以卢铝柱同学的最为简洁明了。

首先，令：
[3a+3b+2c=x,2a+3b+3c=y,3a+2b+3c=z]
那么，不等式的左边就可以化为：
[ sum{[frac{frac{7(x+y+z)}{8}-2x}{x}]}=sum{[frac{frac{7(x+y+z)}{8}}{x}]}-6]
根据均值不等式，即可得：
[frac{7}{8}(3+frac{y}{x}+frac{z}{x}+frac{x}{y}+frac{z}{y}+frac{x}{z}+frac{y}{z})-6 ge frac{63}{8}-frac{48}{8}=frac{15}{8}]

另外，刘卓群同学说用排序不等式来求证，可是我今天没看见他的作业，不晓得他到底证出来没有。不过他也提醒了我，我就用排序证明了下：

首先，设：
[a ge b ge c in R^*,left-expression=x]

我们可以得到原式左边的大小关系，即：
[3a+3b+2c ge 3a+2b+3c ge 2a+3b+3c]
[[3a+b+c ge a+3b+c ge a+b+3c]

那么根据“顺序和不小于乱序和，乱序和不小于反序和”的原理：
[3sum[frac{a+b+3c}{3a+3b+2c}]gefrac{5}{7}sum[frac{7(a+b+c)}{3a+3b+2c}-6+6]]

即可得出结论：
[3xgefrac{5}{7}(x+60) , xgefrac{15}{8}]