[
x,yin R_+,f(x+y)=f(x)+f(y)+4xy,f'(1)=2,if:f'(x)=0,x=?]
这是这次高三月考选择的第八题，不仅很多学生卡在这里，有些数学老师也不知道如何下手。这张试卷整体很容易，一点也不像长郡中学的产品。所以考试的时候，我在做湖北07年的预选赛，对月考卷完全没好感。阅卷时，几个老师都在讨论第八题，我也便拿着做了下，看到两个变量，便用偏导数的解法：
[
f'_{x}(x+y)=f'(x)+4y,f'(1)=f'(frac{1}{2})+2]
结果他们都骂我——就算是长郡的学生估计也没几个学过偏导数的。我不想和大家争论，偏导数的结构没学过，但是二元变量函数求解的思想难道也超纲吗？于是，我又想了下，发现构造法也是蛮简单的。

首先条件中除开4xy，应该是线性结构。那么考虑到4xy的形式，只有线性结构的二次运算才能符合要求。有老师质疑为什么不能是三次或高次的情况，我想他没有理解我的想法，那就是如果有高次运算，根据二项展开式的原理，等式中就应该出现展开式中的其他项的结构，并且4xy就不可能出现，因为4xy的指数为2。这样的话，不难构造出一个满足要求的函数，它以x=1/2为对称轴：
[f(x)=2x^2-2x]

今天我做到一个题，07年广西的预选赛-6：
[
a,bin R,(i)f(a,a)=a,(ii)f(ka,kb)=kf(a,b),
(iii)f(a_1+a_2,b_1+b_2)=f(a_1,b_1)+f(a_2,b_2), ][(iv)f(a,b)=f(b,frac{a+b}{2}),f(a,b)=?
]
我不知道别人怎么看，我第一眼就觉得，这不就是向量的线性运算嘛！