答殷东黎同学问

1月23日,殷东黎同学在这里留言问题,该题是此次高二期末考试填空题的最后一空。期末考试试卷是杨老师的作品,在下以为个别题目还是难了点,这空更是。因为条件实在是不明显,初拿到手有点无处下嘴的感觉,我在监考中都考虑了比较长的时间。

已知二次函数y=ax²+bx+c,其中a<b, 且对一切实数x, 恒有ax²+bx+c≥0,
求: (a+b+c)/(b-a) 的最小值?

该题分步完成,首先证明a、c都是非负数,根据二次函数恒大于等于0的条件以及f(0)≥0可得;

然后确定c/a的范围。根据判别式b²≤4ac,两边同时除以a²,可得1<b²/a²≤4c/a,¼<c/a;

接着用分离常数法把分子中间的b消去,再用判别式放缩:

[frac{a+b+c}{b-a} = 1+frac{2a+c}{b-a}geq 1+frac{2a+c}{2sqrt{ac}-a}=1+frac{2+frac{c}{a}}{2sqrtfrac{c}{a}-1}]

这样就得到了一个关于√(c/a)的式子,用换元法,令:

[t=2sqrtfrac{c}{a}-1 Rightarrow sqrtfrac{c}{a}=frac{t+1}{2}]

得下式,等号成立条件是c/a=4,很明显是满足其范围的。

[frac{3}{2}+frac{9}{4t}+frac{t}{4} geq 3]

2 comments / Add your comment below

    1. 第一小题是个“蠢题目”,分离常数后小学生都会做的。

      选择题倒数第二题也是个“蠢题目”我不记得我讲的是什么方法了,可能是“建系”?但对我来说建系基本上是靠心算的,当然简单。

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