今天上午进行了高二本学期的第一次数学月考，试卷是高三年级的廖老师出的。虽然学生都说考得烂，很多同事都有些埋怨——试卷出得缺乏区分度。然而在我看来，仍然有两、三个题目是相当出彩的，非常的“勾魂”，要知道廖老师的试卷总是给人很大的回味余地。其中，大家讨论比较多的当属选择题第7题：

若，
则求

我甫一拿到问题，就在寻思究竟哪个函数的次方可以化成的结构，马上便联想到了导函数。

解法一：设
又
则对原方程左右两边同时求导，得：


当时，
即，原式

众多数学老师的意见也都是用求导的方法来做，具体的过程并不复杂，但是没有足够应试经验的高二学生的确不易想到。因此我觉得二项式的问题应该不需要弄得这么复杂，于是换了角度考虑了一会，得到了另外一种解法。

解法二：设，原方程转化为

其中等式左边没有项，即该项系数为
等式右边项的系数为
原式。

当然，上午监考中还是很无聊，做了两个解法后，为了消磨时间我也用暴力破解的办法求了下，以期探索究竟的数值规律是什么。于是也得到了一组关于组合数系数的轮换对称结构，加加减减刚好完全抵消掉。限于这里的页面范围，就不再啰嗦。

今天上午在青班讲圆锥曲线-椭圆，提及到椭圆的焦半径公式。下午在高二文科考场监考，百无聊赖之中，止不住回顾上午的教学，于是便想起一道与焦半径有关的高考题来。由于记不得年份，所以原题没有找出来，印象中是用椭圆的轴对称性质来求解。

我却换了一个角度思考，根据公式，如果椭圆上一系列的点的横坐标成等差数列，那么过这些点的焦半径也依次成等差数列。其中在横坐标为长轴等分点的条件下，近焦半径长可以看成数列的首项，远焦半径长可以看成末项，这样就可以结合等差数列的性质构造很多有意思的椭圆问题。

例如：

曲线，其中为左焦点。在其长轴内插入个点，将长轴等分。过这些点作轴垂线与曲线依次交于点。
当时，求的值。